题目

证明:

$$ \sum_{j,k} (-1)^{j+k}\binom{j+k}{k+l}\binom{r}{j}\binom{n}{k}\binom{s+n-j-k}{m-j}=\left(-1\right)^l\binom{n+r}{n+l}\binom{s-r}{m-n-l} $$

代数证明

$$ \begin{aligned} &\sum_{j,k}\left(-1\right)^{j+k}\binom{j+k}{k+l}\binom{r}{j}\binom{n}{k}\binom{s+n-j-k}{m-j}\\ =&\sum_{j,k}\binom{r}{j}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{j+k}\left[x^l\right]x^{-k}\left(1+x\right)^{j+k}\left[w^{s+n-m}\right]\dfrac{w^k}{\left(1-w\right)^{m-j+1}}\\ =&\left[x^lw^{s+n-m}\right]\left(1-\left(1+x\right)w/x\right)^n\left(1-\left(1+x\right)\left(1-w\right)\right)^r\left(1-w\right)^{-m-1}\\ =&\left[x^{n+l}w^{s+n-m}\right]\left(x-w-wx\right)^n\left(-x+w+wx\right)^r\left(1-w\right)^{-m-1}\\ =&\left[w^{s+n-m-r+l}\right]\binom{n+r}{n+l}\left(1-w\right)^{n+l-m-1}\left(-1\right)^{l}\\ =&\left(-1\right)^l\binom{n+r}{n+l}\binom{s-r}{m-n-l} \end{aligned} $$

组合证明

有 $n$ 个有标号红球，$r$ 个有标号蓝球，$s-r$ 个有标号绿球。

然后从红球里面选出集合 $S,\left|S\right|=k$，从蓝球里面选出集合 $T,\left|T\right|=j$，这两个集合中每个元素对答案贡献 $-1$，这部分对应 $\displaystyle \sum_{j,k} (-1)^{j+k}\binom{r}{j}\binom{n}{k}$

再把 $S$ 分成两个集合 $S_1,S_2$，将 $T$ 分成两个集合 $T_1,T_2$，满足 $\left|S_1\right|+\left|T_1\right|=k+l$

最后，把红球剩下的部分，蓝球剩下的部分，绿球剩下的部分分别分成两个集合，称之为 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$，满足 $\left|A_1\right|+\left|B_1\right|+\left|C_1\right|=m-j$

因此原题即为对满足以下条件的 $x$ 求和。

$$ \begin{cases} \left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=n\\ \left|T_1\right|+\left|T_2\right|+\left|B_1\right|+\left|B_2\right|=r\\ \left|S_1\right|+\left|T_1\right|=k+l\\ \left|S_1\right|+\left|S_2\right|=k\\ \left|T_1\right|+\left|T_2\right|=j\\ \left|C_1\right|+\left|C_2\right|=s-r\\ \left|A_1\right|+\left|B_1\right|+\left|C_1\right|=m-j\\ x=\left(-1\right)^{\left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|T_1\right|+\left|T_2\right|} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=n\\ \left|T_1\right|+\left|T_2\right|+\left|B_1\right|+\left|B_2\right|=r\\ \left|T_1\right|-\left|S_2\right|=l\\ \left|C_1\right|+\left|C_2\right|=s-r\\ \left|A_1\right|+\left|B_1\right|+\left|C_1\right|+\left|T_1\right|+\left|T_2\right|=m\\ x=\left(-1\right)^{\left|S_1\right|+\left|T_2\right|+l} \end{cases} $$

注意到 $\left|B_1\right|,\left|T_2\right|$ 同时出现，而且 $T_2$ 有一个 $\left(-1\right)^{\left|T_2\right|}$ 的系数，因此只有 $\left|B_1\right|=\left|T_2\right|=0$ 时贡献不为 $0$

$$ \rightarrow \begin{cases} \left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=n\\ \left|T_1\right|+\left|B_2\right|=r\\ \left|T_1\right|-\left|S_2\right|=l\\ \left|C_1\right|+\left|C_2\right|=s-r\\ \left|A_1\right|+\left|C_1\right|+\left|T_1\right|=m\\ x=\left(-1\right)^{\left|S_1\right|+l} \end{cases} $$

$\left|S_1\right|,\left|A_2\right|$ 同理。

$$ \rightarrow \begin{cases} \left|S_2\right|+\left|A_1\right|=n\\ \left|T_1\right|+\left|B_2\right|=r\\ \left|T_1\right|-\left|S_2\right|=l\\ \left|C_1\right|+\left|C_2\right|=s-r\\ \left|A_1\right|+\left|C_1\right|+\left|T_1\right|=m\\ x=\left(-1\right)^{l} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \left|C_1\right|=m-n-l\\ \left|C_2\right|=s-r-m+n+l\\ \left|S_2\right|+\left|A_1\right|=n\\ \left|T_1\right|+\left|S_2\right|=n+l\\ \left|T_1\right|+\left|B_2\right|=r\\ x=\left(-1\right)^{l} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \left|C_1\right|=m-n-l\\ \left|T_1\right|+\left|S_2\right|=n+l\\ x=\left(-1\right)^{l} \end{cases} $$

只要对这个计数即可。答案即为

$$ \left(-1\right)^l\binom{n+r}{n+l}\binom{s-r}{m-n-l} $$